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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 1 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~2 vorausgesetzt. 
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 1.1} \hfill 	\textbf{[1+0,5+2+0,5 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Ziel dieser Aufgabe ist es zu zeigen, dass der Ring der Gauß'schen Zahlen $\Z[i]:=\Z\left[\sqrt{-1}\right]$ versehen mit der Norm 
	\begin{eqnarray*} N:\hspace*{0.15cm} \Z[i] \hspace*{0.15cm}  & \to & \Z \\
		a+bi &\mapsto & a^2+b^2
	\end{eqnarray*} ein euklidischer Ring ist. Betrachten Sie hierfür zunächst $\alpha,\beta\in\Z[i]$ mit $\beta\neq 0$.
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie, dass geeignete $r,s\in\Q$ mit $\frac{\alpha}{\beta}=r+si$ über $\Q(i)$ existieren.
	\end{enumerate}
	Fixieren Sie nun geeignete $r,s\in\Q$ mit $\frac{\alpha}{\beta}=r+si$ über $\Q(i)$. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Begründen Sie die Existenz geeigneter ganzer Zahlen $p$ und $q$ mit $\vert r-p\vert,\vert s-q\vert\leq \frac{1}{2}$. 
	\end{enumerate}
	Fixieren Sie geeignete $p,q\in\Z$ mit $\vert r-p\vert,\vert s-q\vert\leq \frac{1}{2}$ .
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Zeigen Sie, dass für $\rho := p+qi\in\Z[i]$ ein $\sigma\in\Z[i]$ mit $\alpha=\rho \beta+\sigma$ und $N(\sigma)\leq\frac{1}{2}N(\beta)$ existiert. 
		\item Folgern Sie, dass $(\Z[i],N)$ ein euklidischer Ring ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 1.2} \hfill 	\textbf{[2+1+1 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie die Irreduzibilität von $2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$ und $1-\sqrt{-5}$ in $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$.
		\item Zeigen Sie, dass $2$, $3$, $1+\sqrt{-5}$ und $1-\sqrt{-5}$ nicht paarweise assoziiert in $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ sind.
		\item Folgern Sie, dass $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ kein faktorieller Ring ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 1.3} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $\langle 2,1+\sqrt{-5}\rangle$, $\langle 2,1-\sqrt{-5}\rangle$ und $\langle 3,1+\sqrt{-5}\rangle$ Primideale von $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ sind.
		\item Beweisen Sie über $\Z\left[\sqrt{-5}\right]$ die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\langle 3,1+\sqrt{-5}\rangle \langle 3,1-\sqrt{-5}\rangle = \langle 3 \rangle$
			\item $\langle 2,1+\sqrt{-5}\rangle\langle 3,1+\sqrt{-5}\rangle = \langle 1+\sqrt{-5}\rangle$
			\item $\langle 2,1-\sqrt{-5}\rangle\langle 3,1-\sqrt{-5}\rangle = \langle 1-\sqrt{-5}\rangle$
			\item $\langle 2,1+\sqrt{-5}\rangle\langle 2,1-\sqrt{-5}\rangle\langle 3,1+\sqrt{-5}\rangle\langle 3,1-\sqrt{-5}\rangle = \langle 6\rangle$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 1.4*} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $D\in\Z$ quadratfrei und $K:=\Q\left(\sqrt{D}\right)$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Bestimmen Sie $\mathcal{O}_K^\times$ für alle $D<0$.
	\end{enumerate}
	Sei nun $D:=2$ und $u:=a+b\sqrt{D}\in\mathcal{O}_K^\times$ mit $u>1$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Zeigen Sie $a\geq 1$ und $b\geq 1$.
		\item Beweisen Sie $1+\sqrt{2}\in\mathcal{O}_K^\times$ und die Existenz eines $k\in\N$ mit $u=\left(1+\sqrt{2}\right)^k$.
		\item Folgern Sie $\mathcal{O}_K^\times =\left\{\pm\left(1+\sqrt{2}\right)^k\mid k\in\Z\right\}$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 29.\ April 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}